2011年考研数学二真题(2011年考研数学二真题解析)

2011年考研数学二真题,2011年考研数学二真题解析

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大家好!本文和大家分享一道2011年江苏高考数学真题。这是一道新定义的题目,综合考查了对新定义的理解能力、导数的计算、导数与函数单调性等知识。这道题的难点就是正确理解新定义,而不少同学就是没有看懂新定义从而导致题都没有读懂,而学霸看完题后却说是送分题。

我们先来看一下新定义:若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致。用更加容易理解的话来说,两个函数单调性一致就是指两个函数在同一个区间上的单调性相同,即要么同为单调递增函数,要么同为单调递减函数。

下面我们回到题目,先看第一小问:求b的取值范围。

由于f(x)和g(x)在[-1,+∞)上单调性一致,而根据f(x)=x^3+ax以及a>0可得,f'(x)>0在[-1,+∞)上恒成立,即此时f(x)增函数,所以g(x)在[-1,+∞)上也应该是增函数,故g'(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立。由g(x)=x^2+bx得,g'(x)=2x+b,所以g'(x)=2x+b≥0在[-1,+∞)恒成立就等价于b≥-2x在[-1,+∞)上最大值,即b≥2。

再看第二小问:求|a-b|的最大值。

以a、b为端点的开区间可以分为两大类:一是(a,b),二是(b,a),其中(a,b)还可以继续细分为b>0和b≤0两种。

由于a<0,所以当b>0时,有a<0<b,而f'(0)g'(0)=ab<0,即f(x)和g(x)在(a,b)上的单调性不一致,所以b≤0。

由于a<0、b≤0,所以以a、b为端点的开区间在x的负半轴上,即x<0,而此时g'(x)=2x+b的值肯定为负,也就是g(x)为减函数,所以f(x)也就应该是减函数。由于f'(x)=3x^2+a,所以f(x)在(-√(-a/3),√(-a/3))上为减函数,所以就有a≥-√(-a/3)且b≥-√(-a/3),从而解得-1/3≤a≤0且-1/3≤b≤0,所以|a-b|≤1/3,当且仅当a=-1/3且b=0时,等号成立。

接下来再验证一下当a=-1/3且b=0时,f(x)和g(x)在区间(-1/3,0)的单调性一致。

这道题只要读懂了题意,做起来的难度其实并不是很大,你觉得呢?

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